1. 数学定义

  在进行四元数对旋转的作用探讨前，我们先看一下四元数的定义，并不管三七二十一扔出一堆公式以供后续使用。首先四元数是一种超复数，与简单复数仅包含一个虚部$i$，四元数包含三个虚部$i,j,k$和一个实部，这里定义四元数入下：

1. 简单的想法

  一般来说我们可以很容易写出绕坐标轴$x,y,z$旋转任意角度$\theta$的旋转矩阵，这里分别用$\textbf{R}_x(\theta), \textbf{R}_y(\theta), \textbf{R}_z(\theta)$来表示。但更多时候，我们希望给出任意轴$\textbf{r}$和任意角度$\alpha$的旋转矩阵$\textbf{X}$。一个简单的想法即将$\textbf{s}$构成的局部坐标系$Orst$变换到$Oxyz$上，然后应用相应的旋转，最后反变换回去，如下图所示：

1. 定义

  欧拉角通过基于三个基础坐标轴的旋转角度生成一个矩阵，用于对坐标或坐标系的旋转。首先我们需要规定一个旋转顺序，这里按照Real-Time Rendering (4th Edition)中的规定，按照如下顺序进行旋转：

  一般定义:
    Yaw（偏航）：y
    Pitch（俯仰）：x
    Roll（翻滚）： z

  在绘制物体的过程中，我们常常需要对物体的形状、位置等进行变换，从而可以从物体空间变换到世界空间，进而变换到相机空间，这些过程我们都可以通过矩阵乘法进行实现。对于点本身的位置$\textbf{p}$，假设我们有变换$\textbf{M}$，那么变换后的点位置为：

  对于切向量，由于其可以视为切平面上的一点，与模型中的点位置变换是一致的，于是可以对切向量$\textbf{t}$做相同的变换：

  在OpenGL中我们可以借助gluLookAt()或glm::lookAt()函数设置或者获取相应的视角转换矩阵，从而将片元从世界坐标系转换到相机坐标系。接下来我们以glm::lookAt()为例讲述这一过程具体是如何实现的。首先我们可以看一下glm::lookAt()的函数声明：

1
2
3
4
5
6

template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER mat<4, 4, T, Q> lookAt(
    vec<3, T, Q> const &eye, 
    vec<3, T, Q> const& center, 
    vec<3, T, Q> const& up
);

  根据维基百科，蒙特卡洛积分法是基于随机数的数值积分方法，用于计算定积分。对于高维的积分该方法具有巨大优势，因为蒙特卡洛方法是基于随机采样的方法，而很多其他方法是基于grid的，即将空间分割为不同的grid，最终将每个grid中的计算结果汇总，在n维的情况下这些方法就是O(n)的空间复杂度，而蒙特卡洛仍为O(1)，但要达到相同的精度，所需要的采样数量是否一定优于grid的方法，我暂时还未得到证明。

  本文探索了几种不同的在球面或半球面上采样的方法。

1. 轴向均匀采样（Uniform Axis）

  最容易想到的采样方式即在三个互相垂直的坐标轴$x$,$y$,$z$上单独进行均匀采样，最后将采样到的坐标值正则化即可，不过需要注意的是该采样方式可能取到$(0,0,0)$这个坐标。伪代码如下：

1
2
3
4
5
6
7

do
{
    x = uniform(-1, 1);
    y = uniform(-1, 1);
    z = uniform(-1, 1);
}while((x,y,z) == (0,0,0));
return normalize((x,y,z));